[…] Euclides
tenía claro cómo hacerlo, pero en cuanto desapareció la brújula de la
experiencia hubo que encontrar criterios formales sobre la validez de los
axiomas, como la CONSISTENCIA, la RECURSIVIDAD o la COMPLETITUD.
Para
explicar qué significa que un sistema de axiomas sea consistente, nos
permitiremos fantasear un poco sobre la tecnología del futuro. Nadie nos impide
componer dentro de cien años un malvado grupo de científicos diseñará un misil
infalible, que alcance cualquier objetivo y lo destruya en cuestión de
segundos. O bien podríamos imaginar que, tras una investigación muy costosa
sobre nuevas aleaciones, el ejército de los buenos habría sido capaz de
construir un avión a prueba a de tipo de impactos. Por separado, ninguna de
estas historias desentonaría al comienzo de una película de ciencia ficción,
pero lo que los espectadores nunca podremos aceptar es que ambas hipótesis se
verifiquen a la vez, porque si alguien más malvado aún que los científicos –por
ejemplo, un lógico– se le ocurriese disparar el misil contra el avión,
caeríamos en la paradoja de un proyectil perfecto frente a un blanco indestructible.
En general,
decimos que un conjunto de axiomas es consistente si no genera contradicciones,
es decir, si de él no pueden producirse al mismo tiempo un enunciado y su
negación. Así, los axiomas “Existe un misil perfecto” y “existe un avión
indestructible” no son consistentes, porque del primero se sigue que, cuando el
misil choque contra el avión, éste se destruirá, del segundo, que permanecerá
intacto. La palabra “consistente” es un calco del inglés CONSISTENT, que
significa coherente, vacío de contradicciones. Eso es lo mínimo que puede
exigirse a los axiomas, pues en las teorías que no son consistentes cualquier
proposición es verdadera, y saber hablar de todo equivale a no poder hablar de
nada. El problema es que para tener la garantía de que un sistema de axiomas es
CONSISTENTE, con frecuencia hay que echar mano de las teorías más complejas, cuya
consistencia genera más preguntas de las que resuelve.
[…]Para
introducir el concepto de COMPLETITUD, cambiaremos al género policíaco y nos
serviremos de un ejemplo que nos ha inspirado el escritor argentino Guillermo
Martínez. Imaginen que en una habitación cerrada se comete un crimen y que, al
llegar la policía, junto al cadáver hay dos sospechosos. Cada uno de ellos sabe
toda la verdad sobre el asesinato: sabe si fue o no fue él. Sin embargo, a
menos que confiese, los inspectores tendrán que encontrar huellas dactilares,
restos de ADN o cualquier otra prueba secundaria que permita acusarlos ante el
juez. Si esta búsqueda se demostrara inconcluyente, entonces quedarían libres,
pero la verdad de lo que sucedió seguirá siempre estando ahí. Aunque la verdad
existe, el método es insuficiente para alcanzarlo.
Esta
situación pone de manifiesto que en muchos ámbitos del día a día lo verdadero
no coincide con lo demostrable. Esto es a lo que los lógicos se refieren cuando
dicen que un sistema de axiomas NO es COMPLETO. Lo ideal sería que todas las
afirmaciones verdaderas sobre ciertos objetos pudieran demostrarse a partir de
un puñado de axiomas. Pero eso ocurre raras veces: lo más habitual es que una
teoría contenga enunciados que no se pueden demostrar ni refutar, que
llamaremos INDECIDIBLES. […]
Diremos que
un sistema axiomático es RECURSIVO cuando nos es posible comprobar en una
cantidad finita de pasos, si cualquier afirmación es o no un axioma. La
recursividad pone freno a la avaricia del lógico, que quiere demostrar más y
más teoremas, pues le impide añadir todos los axiomas necesarios para completar
una teoría. Por supuesto, la geometría y la aritmética son teorías recursivas,
como lo son, en general, todas aquellas en las que sólo haya un número finito
de axiomas. Sin embargo, también existen sistemas recursivos con una infinidad
de axiomas. Pero eso no importa, porque lo fundamental de los sistemas
recursivos no es cuántos axiomas tengan, sino que la validez de cualquier
demostración que se construya a partir de ellos pueda verificarse en un número
finito de operaciones.
Extraído de
la Colección EL MUNDO ES MATEMÁTICO de Diario La Nación, Nº 22:
“EL SUEÑO DE
LA RAZÓN. La Lógica Matemática y sus Paradojas.” de Javier Fresán
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