¿Qué se puede pedir a los axiomas?

¿Qué se puede pedir a los axiomas?

[…] Euclides tenía claro cómo hacerlo, pero en cuanto desapareció la brújula de la experiencia hubo que encontrar criterios formales sobre la validez de los axiomas, como la CONSISTENCIA, la RECURSIVIDAD o la COMPLETITUD.

Para explicar qué significa que un sistema de axiomas sea consistente, nos permitiremos fantasear un poco sobre la tecnología del futuro. Nadie nos impide componer dentro de cien años un malvado grupo de científicos diseñará un misil infalible, que alcance cualquier objetivo y lo destruya en cuestión de segundos. O bien podríamos imaginar que, tras una investigación muy costosa sobre nuevas aleaciones, el ejército de los buenos habría sido capaz de construir un avión a prueba a de tipo de impactos. Por separado, ninguna de estas historias desentonaría al comienzo de una película de ciencia ficción, pero lo que los espectadores nunca podremos aceptar es que ambas hipótesis se verifiquen a la vez, porque si alguien más malvado aún que los científicos –por ejemplo, un lógico– se le ocurriese disparar el misil contra el avión, caeríamos en la paradoja de un proyectil perfecto frente a un blanco indestructible.

En general, decimos que un conjunto de axiomas es consistente si no genera contradicciones, es decir, si de él no pueden producirse al mismo tiempo un enunciado y su negación. Así, los axiomas “Existe un misil perfecto” y “existe un avión indestructible” no son consistentes, porque del primero se sigue que, cuando el misil choque contra el avión, éste se destruirá, del segundo, que permanecerá intacto. La palabra “consistente” es un calco del inglés CONSISTENT, que significa coherente, vacío de contradicciones. Eso es lo mínimo que puede exigirse a los axiomas, pues en las teorías que no son consistentes cualquier proposición es verdadera, y saber hablar de todo equivale a no poder hablar de nada. El problema es que para tener la garantía de que un sistema de axiomas es CONSISTENTE, con frecuencia hay que echar mano de las teorías más complejas, cuya consistencia genera más preguntas de las que resuelve.

 

[…]Para introducir el concepto de COMPLETITUD, cambiaremos al género policíaco y nos serviremos de un ejemplo que nos ha inspirado el escritor argentino Guillermo Martínez. Imaginen que en una habitación cerrada se comete un crimen y que, al llegar la policía, junto al cadáver hay dos sospechosos. Cada uno de ellos sabe toda la verdad sobre el asesinato: sabe si fue o no fue él. Sin embargo, a menos que confiese, los inspectores tendrán que encontrar huellas dactilares, restos de ADN o cualquier otra prueba secundaria que permita acusarlos ante el juez. Si esta búsqueda se demostrara inconcluyente, entonces quedarían libres, pero la verdad de lo que sucedió seguirá siempre estando ahí. Aunque la verdad existe, el método es insuficiente para alcanzarlo.

Esta situación pone de manifiesto que en muchos ámbitos del día a día lo verdadero no coincide con lo demostrable. Esto es a lo que los lógicos se refieren cuando dicen que un sistema de axiomas NO es COMPLETO. Lo ideal sería que todas las afirmaciones verdaderas sobre ciertos objetos pudieran demostrarse a partir de un puñado de axiomas. Pero eso ocurre raras veces: lo más habitual es que una teoría contenga enunciados que no se pueden demostrar ni refutar, que llamaremos INDECIDIBLES. […]

Diremos que un sistema axiomático es RECURSIVO cuando nos es posible comprobar en una cantidad finita de pasos, si cualquier afirmación es o no un axioma. La recursividad pone freno a la avaricia del lógico, que quiere demostrar más y más teoremas, pues le impide añadir todos los axiomas necesarios para completar una teoría. Por supuesto, la geometría y la aritmética son teorías recursivas, como lo son, en general, todas aquellas en las que sólo haya un número finito de axiomas. Sin embargo, también existen sistemas recursivos con una infinidad de axiomas. Pero eso no importa, porque lo fundamental de los sistemas recursivos no es cuántos axiomas tengan, sino que la validez de cualquier demostración que se construya a partir de ellos pueda verificarse en un número finito de operaciones.

Extraído de la Colección EL MUNDO ES MATEMÁTICO de Diario La Nación, Nº 22:

“EL SUEÑO DE LA RAZÓN. La Lógica Matemática y sus Paradojas.” de Javier Fresán

Gödel, ciudadano americano

Corría el año 1946 cuando Gödel iba a convertirse en ciudadano americano. Me pidió que fuese su testigo; como segundo testigo propuso a Albert Einstein, que también aceptó de buen grado. Einstein y yo (Oskar Morgenstern) nos habíamos visto ocasionalmente, y ambos teníamos grandes expectativas sobre lo que podía ocurrir antes del proceso de naturalización e incluso durante dicho proceso.

Gödel, a quien veía con frecuencia en los meses previos al acontecimiento, empezó a prepararse de forma muy concienzuda. Gödel era una persona meticulosa, así que empezó a estudiar historia de la colonización de Norteamérica. Eso le condujo al estudio de la historia de los indios americanos, sus diversas tribus, etc. Me llamó numerosas veces por teléfono para que le aconsejase libros, que leía con suma atención. Gradualmente surgieron muchas preguntas y dudas sobre la corrección de estas  historias y las peculiares circunstancias que en ellas se revelaba. A partir de ahí y durante semanas posteriores, Gödel pasó a estudiar historia americana, haciendo particular hincapié en temas de derecho constitucional. Eso lo condujo a su vez al estudio de Princeton, y en especial quiso que yo le explicase dónde estaba la frontera entre el distrito y el municipio. Por supuesto, yo intenté hacerle comprender que esto era totalmente innecesario, pero fue en vano. Él insistió en averiguar todos aquellos datos que quería saber, de modo que le proporcioné la información pertinente, incluso acerca de Princeton. Entonces quiso saber cómo se elegía el Consejo de Distrito, el Consejo Municipal, quien era el alcalde, y cómo funcionaba el Concejo Municipal. Pensaba que era posible que le preguntasen acerca de esos asuntos y que, si demostraba que no conocía la ciudad en que vivía, causaría mala impresión.

Intenté convencerlo de que esas preguntas nunca surgían; de la mayor parte de las preguntas eran simple formalidad […]

Y entonces sucedió algo interesante. Con cierta preocupación me dijo que, al examinar la Constitución y para su disgusto, había hallado contradicciones internas y que podía demostrar cómo, de forma perfectamente legal, era posible que alguien se convirtiese en dictador e instaurase un régimen fascista que aquellos que redactaron la Constitución nunca pretendieron. Le  dije que era muy improbable que algo así sucediese nunca, aun suponiendo que tuviese razón, cosa que yo, desde luego, dudaba. […] Se lo comenté a Einstein que, horrorizado de que a Gödel se le hubiese ocurrido una idea así, también le señaló que no debía preocuparse por referirse a esas cuestiones.

Pasaron varios meses y finalmente llegó la fecha del examen en Trenton. Aquel día pasé a recoger a Gödel en mi coche y luego pasamos por Einstein. 

Durante el viaje, Einstein se volvió levemente y preguntó “Y bien, Gödel, ¿estás realmente bien preparado para el examen?” Por supuesto, ese comentario alteró profundamente a Gödel, que era lo que Einstein pretendía; su semblante de preocupación de Gödel le pareció muy gracioso. Cuando llegamos a Trenton nos hicieron entrar en una gran sala y, aunque en general se interroga a los testigos por separado del candidato, se hizo una excepción en deferencia a Einstein y nos invitaron a los tres a sentarnos juntos, con Gödel en el centro. El examinador preguntó primero a Einstein, luego a mí y si opinábamos que Gödel sería un buen ciudadano. Le aseguramos que sin duda alguna era así, que se trataba de una persona distinguida, etc. Entonces se volvió hacia Gödel y dijo:

-Bien, Mr. Gödel, ¿de dónde viene usted?

-¿Qué de dónde vengo? De Austria.

-¿Qué forma de gobierno tenían en Austria?

-Era una república, pero debido a la constitución la forma cambió a una dictadura.

-¡Vaya! Que mala fortuna. Eso no podría suceder en este país.

-Claro que sí.  Y puedo DEMOSTRARLO.

Así que, de todas las posibles preguntas, el examinador tuvo que formular precisamente la más delicada. Einstein y yo nos mirábamos horrorizados durante esta conversación; el examinador fue lo bastante inteligente para tranquilizar enseguida a Gödel diciendo “Dios mío, no entremos en ese terreno” y, para nuestro alivio interrumpió el examen en ese mismo momento.

Extraído de "¿Es Dios un Matemático?"  de Mario Livio

Sobre la Teoremidad

Para saber si la teoremidad (teoremidad: Conocer de antemano si una proposición de la Teoría de Número es un teorema o no, podríamos decir que equivale a si es demostrable o no) puede ser representada por alguna fórmula de Gödel sobre los teoremas de la teoría, es imposible determinar que esto efectivamente suceda. La fórmula G de Gödel ("G" es una proposición de la Teoría de Números autorreferencial) se convertiría en algo tan tautológico como la paradoja de Epiménides. Veamos: Todo gira en torno a G. La proposición G dice lo siguiente:

G: "G no es un teorema de la Teoría de Números".

Supongamos que G fuera un teorema, luego, puesto que la teoremidad es supuestamente representable, la fórmula de la TN que afirma "G es un teorema" sería un teorema de TN. Pero esta fórmula es ¬G, la negación de G, de manera que TN es incoherente. Por otro lado, supongamos que G no fuera un teorema (Demostrable); luego una vez más gracias a la supuesta representabilidad de la teoremidad, la fórmula que afirma "G no es un teorema" sería un teorema de la TN. Pero esta fórmula es G, e ingresamos de nuevo en la paradoja.

Extraído de "Escher, Gödel, Bach, and Eternal Golden Braid" de Douglas Hofstadter.

Epifenómenos

**Me gustaría narrar un cuento relativo a un sistema complejo. Conversaba yo un día con dos programadores de sistemas de la computadora que estaba usando. Decían ellos que el sistema operativo se mostraba capaz de arreglarse para satisfacer con gran comodidad a cerca de treinta y cinco usuarios, pero que a partir de ese número, poco más o menos, el tiempo de respuesta se dilataba súbitamente, llegando a ser tan lento que uno podía hacer el registro y luego irse a su casa a esperar. En broma, dije: “¡Bueno, eso es fácil de solucionar: basta con situar el sitio del sistema operativo donde está almacenado el número ‘35’, y cambiarlo por ‘60’!”. Festejaron mi ocurrencia. La gracia reside, por supuesto, en que tal sitio no existe. ¿Dónde aparece, entonces el número crítico: 35 usuarios? La respuesta es: Es una consecuencia visible de toda la organización del sistema: un “epifenómeno”.

Lo mismo sería preguntarle a un atleta, “¿Dónde está almacenado el ‘11’ que lo hace a usted capaz de correr 100 metros en 11 segundos?”. Obviamente, en ninguna parte. Esa marca es el resultado de cómo está construido el corredor, de cuál es su tiempo de reacción y de un millón de factores, todos en interacción cuando aquél corre. La marca es perfectamente reproducible, pero no está almacenada en ninguna parte de su cuerpo. Está diseminada en todas las células de su organismo y sólo se manifiesta a través de la carrera misma.

Los epifenómenos abundan, en el juego del “go”, existe la situación en que “subsisten dos ojos”. No está construida por las reglas, pero es una consecuencia de las reglas. En el cerebro humano hay credulidad. ¿Cuán crédulo es uno? ¿La credulidad se localiza en algún “centro de la credulidad”, dentro del cerebro? ¿Un neurocirujano podría ubicarlo y realizar alguna suerte de complicada operación que haga decrecer la credulidad, u optar por dejarlo en paz? Si el lector cree que la respuesta a lo anterior es afirmativa, ellos revela que es bastante crédulo, y que quizá debería pensar en someterse a tal operación.**

Extraído de “Escher, Gödel, Bach, and Eternal Golden Braid” de Douglas Hofstadter

Un Poco de Memoria sobre la "Memoria"

Esta primera entrada será fragmentos, pero más adelante iré escribiendo mis pensamientos. Espero les sea de su agrado.

UN POCO DE MEMORIA SOBRE LA MEMORIA

“La poesía en sí fue un acto de recordación ideado para inducir una respuesta en la memoria de los asistentes. La poesía épica griega e inclusive la historia antigua tuvieron como meta preservar en las mentes de los contemporáneos las legendarias hazañas de sus antepasados. Los libros fueron más bien un ayuda a la memoria del individuo, no un sustituto de ella.

Las culturas orales fomentan un tipo de pensamiento asociativo que no es muy común en una cultura de imprenta.

El hecho es que el arte de la memoria sobrevivió a la destrucción del Imperio Romano de Occidente y es muy probable que no perdiera popularidad ni en la Edad Media ni en el Renacimiento.

Otras técnicas de memoria del mundo antiguo se continuaron en la Edad Media y en el Renacimiento: la memorización simple (sin invocar la magia) y el manuscrito. El gran cambio se presentó con la introducción de la imprenta.

En esta rigidez el libro fu característico de toda la era mecánica, ya que así como las ideas quedaban fijas en la página impresa, así también la información mecánica se fijaba en los engranajes del reloj, en el motor de vapor o en la dínamo.

En forma gradual, se hallaron modos de almacenar y de expresar mecánicamente la información. El mejor ejemplo es el telar de Jacquard inventado hacia 1800 y que entretejía dibujos en la tela de seda de un modo automático. Al telar lo controlaba una serie de tarjetas de madera, en las cuales unos agujeros hechos con punzón determinaban la entrada de diversos hilos, y así generaban el dibujo. Este dibujo se podía alterar simplemente agujereando nuevas tarjetas. Babbage trató de usar tarjetas perforadas en su Motor Analítico, en tanto que, a fines del siglo Herman Hollerith las empleó con buen éxito para tabular el censo de los Estados Unidos. Entonces empezó la gran edad de las máquinas tabuladas, que leían, concordaban, duplicaban, devolvían y en ocasiones destruían interminables pilas de tarjetas. Esta edad llegó a su fin en los años 1950 con la introducción de computadoras y de la cinta magnética.”

Extraído de varias páginas de “El Hombre de Turing” de David Bolter